Temas básicos de lógica

 Va un recordatorio básico sobre el concepto general de validez de un razonamiento deductivo para tener presente cuando se resuelven ejercicios sobre el tema. (Aclaración terminológica: los dos "valores de verdad" son Verdadero y Falso; "&" es la conjunción).

* Puede definirse un razonamiento como una secuencia finita de oraciones o proposiciones, una de las cuales, llamada “conclusión”, se presenta como consecuencia lógica de las demás, llamadas “premisas”.

* Un razonamiento no es verdadero o falso, sino válido o inválido.

Las que son verdaderas o falsas son las oraciones (o proposiciones) que lo

componen. La lógica no se ocupa de determinar qué oraciones son verdaderas, sino qué razonamientos son válidos (y qué significa exactamente 'razonamiento válido').

* Como primera aproximación, podemos decir que un razonamiento es válido cuando su conclusión se sigue de sus premisas. Es decir: suponiendo que sus premisas son verdaderas, por lógica la conclusión debe serlo también. Los razonamientos válidos están estructurados de tal manera que si parten de premisas verdaderas, entonces la conclusión tiene que ser verdadera también.

* La validez o invalidez de un razonamiento depende, no de su contenido, sino de su forma o estructura. Podemos decir que un razonamiento es válido si tiene una forma o estructura válida. Y una forma es válida cuando no admite ningún ejemplo con todas sus premisas verdaderas y su conclusión falsa. Si una forma de razonamiento es válida, entonces todo ejemplo suyo en que las premisas son verdaderas tendrá indefectiblemente conclusión verdadera.

* Para mostrar que un razonamiento dado es inválido, basta mostrar que tiene forma inválida; y por lo que acabamos de decir, esto se puede hacer dando un ejemplo de razonamiento de esa misma forma que tenga premisas verdaderas y conclusión falsa. Tal ejemplo se denomina ˜contraejemplo" a dicha forma.

Ejemplo:

Si Martín toma Pepsi, es admirador de Messi

Martín es admirador de Messi

(Por tanto), Martín toma Pepsi

Para indagar acerca de la validez de este razonamiento, deberíamos ver, no si las cosas que se dijeron son verdaderas o falsas o suenan bien o mal, sino ver cuál es la estructura (forma) del razonamiento y determinar si puede hallársele algún contraejemplo a la misma. La estructura de este razonamiento es claramente:

Si p entonces q

q

-----------------------

p

O usando la flecha "==>" como condicional:

p ==>q

q

-------------

p

Y resulta ser una forma inválida (recibe el nombre de "falacia de afirmación del consecuente"), porque pueden hallarse contraejemplos, es decir, ejemplos de esta forma cuyas premisas quedan todas V y la conclusión F. El siguiente es uno:

Si Ginnobili es futbolista, entonces es deportista      V

Ginnobili es deportista                                                     V

-----------------------------------------------------------

Ginnobili es futbolista                                                       F

* Hay razonamientos inválidos con premisas verdaderas y conclusión verdadera, con premisas verdaderas y conclusión falsa, con premisas falsas y conclusión verdadera y con premisas falsas y conclusión falsa: todo puede pasar.

* En cambio, si bien hay razonamientos válidos con premisas verdaderas y conclusión (por tanto) verdadera, con premisas falsas y conclusión verdadera y con premisas falsas y conclusión falsa, nunca los hay con premisas verdaderas y conclusión falsa.

* Así, el hecho de que un razonamiento dado tenga premisas verdaderas y conclusión verdadera no implica que sea válido. Porque, como dijimos, también hay razonamientos inválidos en que las premisas y la conclusión son, de hecho, verdaderas (pero la conclusión no es consecuencia lógica de las premisas). Ejemplo:

La Tierra es un planeta

Júpiter es un planeta

---------------------------------

Sarmiento fue presidente

Evidentemente, es un razonamiento inválido porque su conclusión no se sigue de las premisas, pero tanto las premisas como la conclusión son, de hecho, verdaderas.

* Dos formas válidas famosas (el símbolo ==> se lee como un “si…entonces”; el símbolo ~ se lee como un “no”):

Modus ponens:

A ==> B

A

=========

B

Modus tollens:

A ==> B

~B

======

~A

Dos formas inválidas famosas:

Falacia de afirmación del consecuente:

A ==> B

B

=======

A

Falacia de negación del antecedente:

A ==> B

~A

======

~B

* ¿Cómo podemos probar, entonces, que una forma de razonamiento ES válida, es decir, que no admite contraejemplos - y, por tanto, que cualquier razonamiento de esa forma es válido? Mostrando que es imposible un contraejemplo. ¿Cómo?

Hay varias maneras de hacer esto, que la lógica estudia. En la lógica proposicional, podemos hacerlo sirviéndonos simplemente de las "tablas" de los conectivos que aparecen en la forma dada. Por ejemplo, puede probarse que cualquier razonamiento de la forma

p & q

-------

   p

es válido del siguiente modo (usamos & como símbolo de conjunción: corresponde a “y” en castellano). Si esta fuera una forma inválida, debería haber algún caso o ejemplo en que las premisas (en este caso hay sólo una) son verdaderas y la conclusión falsa. Pero tal caso es imposible, ya que si su conclusión, representada por "p", fuera falsa, la premisa también tendría que ser falsa (pues "p&q" es falsa con tal que alguna de las dos oraciones, "p", "q", sea falsa: esto lo sabemos por la tabla del conectivo &). Así, al haber demostrado que no hay contraejemplo posible para la forma de razonamiento evaluada, concluimos que ella es válida: jamás nos puede conducir de premisas verdaderas a una conclusión falsa.

Nota para interesados: Los métodos de la lógica proposicional que proceden haciendo una "tabla" para las proposiciones involucradas (o un condicional asociado) permiten mecanizar nuestra evaluación de la validez una forma de razonamiento: podemos decidir la cuestión en un número finito de pasos siguiendo instrucciones que no requieren pensar; una computadora puede hacerlo. Esto es una suerte de privilegio de la lógica proposicional: cuando pasamos a una lógica un poco más compleja (la lógica cuantificacional), saber si una forma de razonamiento tiene o no contraejemplos no es una cuestión mecanizable (no podemos hacer que una computadora resuelva el problema por nosotros).

Razonamientos llamados “inductivos”.

También se suele decir que existen otro tipo de razonamientos que no son deductivos. Se los suele llamar “inductivos”. Son razonamientos cuya conclusión generaliza lo que afirman las premisas. Por ejemplo:

El alumno Juan aprobó.

El alumno Pedro aprobó.

El alumno Santino aprobó

Por tanto, todos los alumnos aprobaron.

Es claro que este razonamiento, como todos los inductivos, es lógicamente inválido ya que sus premisas bien podrían ser verdaderas (Juan, Pedro y Santino podrían haber aprobado) pero su conclusión podría ser falsa (podría haber otros alumnos que cursaron pero no aprobaron). Aun así, suele decirse que la verdad de las premisas, si bien no garantiza la verdad de la conclusión, “hace probable” la verdad de la conclusión.